Töluleg greining
Á þessari síðu hefur það tíðkast að láta töluna 3.14 nálga gríska bókstafinn pí = 3.14159265358979... Nálgun verður að sjálfsögðu ekkert annað það sem hún er, þ.e. nálgun en það er auðvelt að sjá að þessi nálgun er með minni en 0,1% hlutfallsskekkju. Þeir sem eru að lesa tölulega greiningu þessa dagana gætu því spurt: "Segjum svo að við nálgum pí með 3.14 og g.r.f. að sú hlutfallsskekkja sé 0.1% (hún er í raun aðeins minni), hver er þá hlutfallsskekkjan í sin(3.14) og cos(6.28)?"
Við skulum byrja á að reikna ástandstölur þessara falla. Athugum að
st(cos(2x)) = |xcos'(2x)|/|cos(2x)| = |-2xsin(x)|/|cos(x)| <= 0.4
st(sin(x)) = |xsin'(x)|/|sin(x)| = |xcos(x)|/|sin(x)| --> 8'
fyrir x í grennd um pí. Þetta segir okkur að ástand cos(x) í grennd um pí er gott en það sama á ekki við um sin(x) þar sem ástandstalan vex upp úr öllu valdi í grennd um pí. Þar er ástandið slæmt! Við getum því ekki metið hlutfallsskekkju í sin(x) í grennd um pí. Hins vegar er einfalt mál að reikna hlutfallsskekkju fyrir cos(2x). Hún fæst samkvæmt jöfnunni
|cos(2x)-cos(2pí)|/|cos(2pí)| = st(cos(2x))*|2pí-2x|/|2pí| <= 0.4 * 0.001 = 0.0004 = 4E-4.
Þetta þýðir að cos(6.28) sem nálgun á cos(2pí) er rétt með alla vega þremur markverðum stöfum!
Töluleg greining, hugsanlega gagnlegasti kúrs í heimi...
Við skulum byrja á að reikna ástandstölur þessara falla. Athugum að
st(cos(2x)) = |xcos'(2x)|/|cos(2x)| = |-2xsin(x)|/|cos(x)| <= 0.4
st(sin(x)) = |xsin'(x)|/|sin(x)| = |xcos(x)|/|sin(x)| --> 8'
fyrir x í grennd um pí. Þetta segir okkur að ástand cos(x) í grennd um pí er gott en það sama á ekki við um sin(x) þar sem ástandstalan vex upp úr öllu valdi í grennd um pí. Þar er ástandið slæmt! Við getum því ekki metið hlutfallsskekkju í sin(x) í grennd um pí. Hins vegar er einfalt mál að reikna hlutfallsskekkju fyrir cos(2x). Hún fæst samkvæmt jöfnunni
|cos(2x)-cos(2pí)|/|cos(2pí)| = st(cos(2x))*|2pí-2x|/|2pí| <= 0.4 * 0.001 = 0.0004 = 4E-4.
Þetta þýðir að cos(6.28) sem nálgun á cos(2pí) er rétt með alla vega þremur markverðum stöfum!
Töluleg greining, hugsanlega gagnlegasti kúrs í heimi...